Динамика Солнечной системы

Закон всемирного тяготения. Тождественность силы тяготения и силы тяжести. Потенциальная энергия тела, поле тяготения. Определение массы Земли и небесных тел. Космические скорости

Законы Кеплера с достаточной полнотой описывали наблюдаемое движение планет вокруг Солнца, но в то же время эти законы не давали ответа на вопрос: что удерживает планеты на их орбитах? Лишь полвека спустя великий английский ученый И. Ньютон (1643 — 1727) объяснил устойчивость планетной системы, открыв закон всемирного тяготения. Этот закон утверждает: все тела во Вселенной притягиваются друг к, другу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.

Математическое выражение закона всемирного тяготения имеет вид:

m_{1 *}m₂

F = G ------------------ ,

r²

где m₁и m₂ — массы двух притягивающихся друг к другу тел, а r — расстояние между ними. Коэффициент пропорциональности G называют постоянной тяготения или гравитационной постоянной. Гравитационная постоянная численно равна силе, с которой два тела массой по 1 кг каждое притягиваются друг к другу на расстоянии 1 м. Опыт показывает, что G = 6,67 ^.10 ^-11 Н^.М²/кг²

Строго говоря, данная формула справедлива тогда, когда размеры тел пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием между ними. В случае протяженных шарообразных тел со сферически-симметричным распределением масс в качестве r следует принимать расстояние между центрами этих тел. В остальных случаях формула дает приближенный ответ.

Размышляя над формулировкой закона, Ньютон предположил, что действующая на Земле сила тяжести по своей физической природе тождественна силе тяготения, действующей между небесными телами. Это предположение он проверил на примере движения Луны вокруг Земли.

Ньютону было известно, что расстояние от центра Земли до Луны в 60 раз больше радиуса Земли, а период обращения Луны составляет 27,3 сут. Отсюда легко определить центростремительное ускорение Луны, которое обусловлено силой тяготения. (Напомним, что центростремительное ускорение равно произведению квадрата угловой скорости на радиус вращения). Считая в первом приближении орбиту Луны круговой, а радиус Земли равным 6370 км, получаем результат: = 0,2.10 ^{- 2} м/с²

С другой стороны, если сила тяжести действительно представляет собой силу гравитационного притяжения, то на орбите Луны ускорение свободного падения должно быть в 60² раз меньше, чем у земной поверхности, т. е. = 0,27^. 10 ^{- 2} м/с²

Таким образом, центростремительное ускорение Луны оказалось равным ускорению свободного падения на ее орбите. На основании простых расчетов Ньютон сделал вывод о тождественности силы тяжести и силы взаимного притяжения небесных тел.

Тождественность силы тяжести и силы тяготения еще ничего не говорит о самой природе гравитационного взаимодействия. Убедившись в тщетности своих попыток объяснить физический механизм гравитации, Ньютон сказал знаменитую фразу: “Гипотез я не измышляю...”

Начиная со второй половины XIX в. в ходе развития теоретической физики представление о непосредственном силовом дальнодействии одного тела на другое постепенно уступило место представлению о поле тяготения как особом виде материи, посредством которого осуществляется гравитационное взаимодействие.

Поле тяготения, создаваемое телом массой М, удобно исследовать с помощью пробного тела, масса которого т много меньше М. Например, при изучении гравитационного поля Земли в качестве пробного тела можно взять металлический шарик массой 1 кг. Очевидно, что поле тяготения "такого шарика не будет заметным образом искажать поле тяготения Земли.

Пусть первоначально пробное тело находится на земной поверхности. Чтобы поднять его на высоту h, необходимо совершить работу

A=mgh.

Поднятое на высоту h пробное тело обладает потенциальной энергией Е_П, которая по модулю равна совершенной работе А, но противоположна ей по знаку: E_П= - mgh.

Действительно, при свободном падении с высоты h тело способно совершить работу A' = - mgh.

(Самостоятельно покажите, что работа в поле тяготения не зависит от формы пути, по которому перемещается тело, а зависит только от его начального и конечного положений. Поля, в которых выполняется такое условие, называют потенциальными. Потенциальное поле в каждой точке характеризуется потенциалом j, равным отношению потенциальной энергии тела в данной точке к его массе j = - gh).

Закон Всемирного тяготения, а также понятия потенциальной и кинетической энергии лежат в основе небесной механики. Небесная механика изучает движение небесных тел с учетом создаваемых ими полей тяготения. Она позволяет определять массы небесных тел и с исчерпывающей полнотой объясняет динамическую устойчивость Солнечной системы, под которой понимают Солнце и все его спутники.

Самой важной характеристикой любого небесного тела является его масса. Массы планет удобно сравнивать с массой Земли, т. е. выражать их массу через массу нашей планеты.

4 октября 1957 г. был запущен первый искусственный спутник Земли. Эта дата ознаменовала собой начало космической эры человечества.

Искусственные спутники Земли выводятся на орбиту последней ступенью космической ракеты на заданной высоте. Если искусственный спутник Земли обращается по круговой орбите на высоте, которая пренебрежимо мала по сравнению с радиусом Земли, то его скорость называют первой космической v_o. Для ее вычисления учтем, что в данном случае ускорение свободного падения играет роль центростремительного ускорения спутника:

Тогда V_o= 7,9 * 10³м/c = 8 км/c.

Заметим, что при запуске искусственного спутника его начальная скорость должна быть направлена по касательной к земной поверхности.

Будем постепенно увеличивать начальную скорость спутника. Тогда его орбита примет форму эллипса. Ближайшую к Земле точку орбиты (точка, в которой спутник отделяется от последней ступени ракеты) называют перигеем, а самую удаленную — апогеем. По мере увеличения скорости запуска эксцентриситет орбиты возрастает и большая полуось стремится к бесконечности. Эллиптическая орбита вырождается в параболическую. Скорость движения по параболе относительно Земли Уд принято называть второй космической. V_П = 11,2 км/с.

Наконец, если сообщить телу скорость v > v_П, то оно будет удаляться от Земли по гиперболической траектории. В реальных условиях космический аппарат, которому сообщается параболическая или гиперболическая скорость, на расстоянии около 1 млн. км. от Земли переходит на гелиоцентрическую орбиту и становится искусственным спутником Солнца. Именно в этом случае возможен космический полет к другим планетам.

Скорость, при которой запущенный с Земли космический аппарат может совсем покинуть Солнечную систему, называют третьей космической. Третья космическая скорость сильно зависит от направления запуска космического аппарата по отношению к направлению орбитального движения Земли. Если космический аппарат запускается в сторону движения Земли вокруг Солнца, то третья космическая скорость окажется наименьшей и составит 16,6 км/с.

Примечательно, что космические скорости не зависят от массы тела, которому они сообщаются. Кстати, это видно из формул. Чем больше масса космического аппарата, тем большую работу должен совершить двигатель ракеты, выводящий его на заданную орбиту.

Задачи